Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por e pela reta em torno:
b. Da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o volume de um sólido que resulta ao girar a região limitada pela parábola e a reta em torno da reta . Vamos usar cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação. Precisamos entender como configurar a integral para essa rotação em torno de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre e . Igualando as duas equações:
Então, a região que vamos girar está entre e .
Passo 3
Como estamos girando em torno da reta , que está acima da nossa região, vamos usar o método dos anéis (ou cilindros). A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
é a distância do eixo de rotação até a função de cima,
é a distância do eixo de rotação até a função de baixo.
Passo 4
No nosso caso, a função de cima é a reta e a função de baixo é a parábola . A distância até será:
Passo 5
Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 7
Substituindo de volta:
Vamos calcular os termos dentro dos colchetes:
Somando:
Multiplicando por :
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto: