Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar a derivada de segunda ordem dela. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e algumas técnicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Como temos uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos derivar
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar
novamente. Temos:
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
.
Aplicando a regra do quociente novamente:
Passo 6
Primeiro, derivamos
e
:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Substituindo na fórmula da regra do quociente:
Podemos simplificar cancelando um fator
no numerador e denominador:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expanda a segunda parte:
Agora, substitua de volta:
Passo 9
Então, a segunda derivada fica:
Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais, se possível. Observando os coeficientes:
Dividindo todos os termos por 2:
Mas para manter a clareza, podemos deixar na forma:
Resposta
A derivada de segunda ordem da função
é:
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71.
71.
Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
Efetue as operações indicadas e simplifique cada expressão:
76.
76.
Determine os limites, caso exista
h)
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