Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar a derivada de segunda ordem dela. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e algumas técnicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como temos uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar novamente. Temos:
Vamos chamar o numerador de e o denominador de .
Aplicando a regra do quociente novamente:

Passo 6

Primeiro, derivamos e :
Para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
Podemos simplificar cancelando um fator no numerador e denominador:

Passo 8

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expanda a segunda parte:
Agora, substitua de volta:

Passo 9

Então, a segunda derivada fica:
Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais, se possível. Observando os coeficientes:
Dividindo todos os termos por 2:
Mas para manter a clareza, podemos deixar na forma:

Resposta

A derivada de segunda ordem da função é:

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h)