Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras da derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é um produto de duas partes:
e
. Quando temos um produto de funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos identificar
e
. Precisamos encontrar
e
:
-
Derivada de
: . -
Derivada de
: Para derivar, reescrevemos como e aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é . Então,.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Podemos simplificar combinando os termos sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Agora vamos encontrar a segunda derivada,
. Precisamos derivar
.
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
. Usamos novamente a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Primeiro, encontramos
e
:
- Derivada de
: . - Derivada de
: já vimos que .
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Resposta
A derivada de segunda ordem da função
é:
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