Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras da derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é um produto de duas partes: e . Quando temos um produto de funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos identificar e . Precisamos encontrar e :
  • Derivada de : .
  • Derivada de :
    Para derivar , reescrevemos como e aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é .
    Então, .

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
Podemos simplificar combinando os termos sobre o mesmo denominador:

Passo 5

Agora vamos encontrar a segunda derivada, . Precisamos derivar .
Vamos chamar o numerador de e o denominador de . Usamos novamente a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Primeiro, encontramos e :
  • Derivada de : .
  • Derivada de : já vimos que .
Agora aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Resposta

A derivada de segunda ordem da função é:

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