Calcule a derivada segunda das seguintes funções: x = t sen(t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função . Isso está dentro do tema de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo derivadas e regra do produto. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto quando temos uma função multiplicando outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , ou seja, . A função que temos é um produto de duas funções: e .

Passo 3

Aqui entra a regra do produto. Ela diz que se temos uma função , a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora que temos a primeira derivada, vamos calcular a segunda derivada, . Isso significa derivar novamente :

Passo 7

Vamos derivar cada termo separadamente:
Para o termo , usamos novamente a regra do produto:
Então, a segunda derivada fica:

Resposta

A segunda derivada da função é:

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