Calcule a derivada segunda das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada da função . Isso está dentro do tema de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo derivadas e regra do produto. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto quando temos uma função multiplicando outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função que temos é um produto de duas funções:
e .
Passo 3
Aqui entra a regra do produto. Ela diz que se temos uma função
, a derivada
é dada por:
No nosso caso,
e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Agora que temos a primeira derivada, vamos calcular a segunda derivada,
. Isso significa derivar novamente
:
Passo 7
Vamos derivar cada termo separadamente:
Para o termo
, usamos novamente a regra do produto:
Então, a segunda derivada fica:
Resposta
A segunda derivada da função é: