Considerando o conjunto R, determine o conjunto solução das inequações abaixo: (5x - 2) / (3x + 4) < 2

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Esse exercício pertence à área de equações e inequações racionais. Para resolver, vamos precisar manipular a inequação de forma a encontrar os valores de que satisfazem a condição dada, prestando atenção nos pontos onde o denominador é zero, pois nesses pontos a expressão não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos subtrair 2 de ambos os lados da inequação para trazer tudo para um lado:

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos em uma única fração. Para isso, precisamos que ambos os termos tenham o mesmo denominador:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a inequação fica:

Passo 5

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1 para simplificar, lembrando que ao multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de que tornam a fração maior que zero. Isso ocorre quando o numerador e o denominador são ambos positivos ou ambos negativos.
Encontramos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:

Passo 7

Dividimos a linha dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos: , e . Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva.
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :

Passo 8

Analisando os resultados dos testes, a fração é positiva nos intervalos e . No ponto , a fração é zero, o que não satisfaz a inequação estrita. No ponto , a expressão não está definida.

Resposta

O conjunto solução da inequação é:

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