Considerando o conjunto
, determine o conjunto solução das inequações abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Esse exercício pertence à área de equações e inequações racionais. Para resolver, vamos precisar manipular a inequação de forma a encontrar os valores de
que satisfazem a condição dada, prestando atenção nos pontos onde o denominador é zero, pois nesses pontos a expressão não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos subtrair 2 de ambos os lados da inequação para trazer tudo para um lado:
Passo 3
Agora, vamos combinar os termos em uma única fração. Para isso, precisamos que ambos os termos tenham o mesmo denominador:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a inequação fica:
Passo 5
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1 para simplificar, lembrando que ao multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam a fração maior que zero. Isso ocorre quando o numerador e o denominador são ambos positivos ou ambos negativos.
Encontramos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
Passo 7
Dividimos a linha dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos:
,
e
. Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva.
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Passo 8
Analisando os resultados dos testes, a fração é positiva nos intervalos
e
. No ponto
, a fração é zero, o que não satisfaz a inequação estrita. No ponto
, a expressão não está definida.
Resposta
O conjunto solução da inequação
é: