Calcule a derivada segunda das seguintes funções: y = e^x / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a segunda derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da derivada, ou seja, como a taxa de variação está mudando.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . Para isso, usaremos a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Aqui, e . Vamos encontrar as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, . Isso significa que vamos derivar novamente. Temos:
Vamos simplificar essa expressão antes de derivar:
Agora, vamos derivar termo a termo usando a regra do produto, já que temos um produto de e outra função de .
A derivada de é , então aplicando a regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão resultante:
Podemos fatorar para deixar mais organizado:

Resposta

A segunda derivada da função é:

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