Calcule a derivada segunda das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a segunda derivada da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da derivada, ou seja, como a taxa de variação está mudando.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
. Para isso, usaremos a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
. Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
. Isso significa que vamos derivar
novamente. Temos:
Vamos simplificar essa expressão antes de derivar:
Agora, vamos derivar termo a termo usando a regra do produto, já que temos um produto de
e outra função de
.
A derivada de
é
, então aplicando a regra do produto:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão resultante:
Podemos fatorar
para deixar mais organizado:
Resposta
A segunda derivada da função
é: