Considerando o conjunto R, determine o conjunto solução das inequações abaixo: |4x+1|/(x+3)<2.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa inequação: . Aqui, vamos usar conceitos de inequações envolvendo valor absoluto e funções racionais. Precisamos encontrar os valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira, lembrando que o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor absoluto ser menor que 2. A inequação implica que está entre -2 e 2. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa dupla inequação. Para isso, precisamos considerar que a divisão por pode alterar o sinal da desigualdade, dependendo do valor de x. Então, vamos dividir o problema em dois casos: quando e quando .

Passo 4

Caso 1:
Nesse caso, podemos multiplicar as três partes da inequação por sem mudar o sinal:
Simplificando cada parte:
  1. Esquerda:
  2. Direita:
Então, para esse caso, a solução é e , que juntos resultam em .

Passo 5

Caso 2:
Aqui, ao multiplicar a inequação por , que é negativo, precisamos inverter os sinais das desigualdades:
Simplificando cada parte:
  1. Esquerda:
  2. Direita:
No entanto, nesse caso, não é compatível com , então não há solução nesse intervalo.

Resposta

A solução da inequação é .

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