Calcule a derivada segunda:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada segunda de . Esse exercício está ligado ao estudo de derivadas em cálculo, mais especificamente ao uso da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é uma composição de duas funções: a função seno e a função cosseno. Quando temos uma função dentro de outra, usamos a regra da cadeia para derivar.
A regra da cadeia diz que se , então a derivada de em relação a é:
Aplicando isso no nosso caso:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada de . Temos:
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que se e são funções de , então:
Aplicando isso:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de : Aqui usamos novamente a regra da cadeia.
    • , então
    • , então
    • Portanto,
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada segunda de é:

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Calcule a derivada segunda: constante
Determine a derivada:
Determine as inversas das seguinte funções:
Simplifique a seguinte espressão para um qualquer e , se: