Considere y = x * t^3, onde x = x(t) é derivável. Calcule dy/dt | t=2 sabendo que de/dt mid t = 2 = 3 e que x(2) = 1, isto é, x = 1 para t = 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , onde é uma função de e é derivável. Queremos descobrir a derivada de em relação a quando . Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, já que é o produto de duas funções de : e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do produto para derivar em relação a . A regra do produto diz que, se temos duas funções e , a derivada delas multiplicadas é:
No nosso caso, e . Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a . Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, nossa expressão para fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na expressão. Sabemos que em :
Substituindo esses valores:

Passo 5

Vamos calcular os valores:

Resposta

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Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico. f(x) = ln(x) / x
Calcule a derivada segunda. y = t ln(t)
Esboce o gráfico de y = 2 / x, x > 0
Esboce o gráfico de y = x^2 + 1 / x