Calcule a derivada terceira das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a terceira derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente o uso das regras de derivação como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar funções como o cosseno e a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Já que é um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Sabemos que:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Temos que derivar :
Vamos derivar cada termo separadamente usando novamente a regra do produto.
Para o primeiro termo :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Então:
Para o segundo termo :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Então:
Juntando tudo:
Simplificando:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a terceira derivada . Precisamos derivar :
Vamos novamente aplicar a regra do produto para cada termo.
Derivando cada termo:
  1. requer o uso da regra do produto para três funções, resultando em termos adicionais.
Após derivar e simplificar todos os termos, obtemos a expressão final para .

Resposta

A terceira derivada da função é dada por:

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Calcule a derivada das seguintes funções:
Partindo da propriedade , determine:
b)
Resp:
Calcule a integral dupla , onde
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.