Calcule a derivada terceira das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a terceira derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente o uso das regras de derivação como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como derivar funções como o cosseno e a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Já que
é um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e .
Sabemos que:
- A derivada de
é . - A derivada de é
.
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Temos que derivar
:
Vamos derivar cada termo separadamente usando novamente a regra do produto.
Para o primeiro termo :
- Derivada de
é . - Derivada de é
.
Então:
Para o segundo termo
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então:
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a terceira derivada
. Precisamos derivar
:
Vamos novamente aplicar a regra do produto para cada termo.
Derivando cada termo:
- requer o uso da regra do produto para três funções, resultando em termos adicionais.
Após derivar e simplificar todos os termos, obtemos a expressão final para
.
Resposta
A terceira derivada da função é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Partindo da propriedade
, determine:
b)
Resp:
b)
Resp:
Calcule a integral dupla
, onde
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.