Partindo da propriedade L^-1[F(s) cdot G(s)]=f * g=integral0^t f(tau) cdot g(t-tau) d tau, determine:
b) mathscrS^-11(s+1)(s-2)
Resp: -13 e^-t+13 e^2 t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de 1(s+1)(s-2). Estamos trabalhando com transformadas de Laplace e vamos precisar usar a propriedade de decomposição em frações parciais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(s+1)(s-2) em frações parciais. Isso significa escrever a fração como a soma de duas frações mais simples:
1(s+1)(s-2) = As+1 + Bs-2
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar 1 = A(s-2) + B(s+1) e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Primeiro, escolha 1 = A(2-2) + B(2+1) implies 1 = 0 + 3B implies B = 13 :
1 = A(-1-2) + B(-1+1) implies 1 = -3A + 0 implies A = -13
Em seguida, escolha :

Passo 5

Agora que temos os valores de 1(s+1)(s-2) = -13 cdot 1s+1 + 13 cdot 1s-2 e , podemos escrever:

Passo 6

Sabemos que a transformada inversa de Laplace de 1s+a é e^-a t. Aplicando isso às frações que encontramos:
mathscrL^-11s+1 = e^-t e mathscrL^-11s-2 = e^2t

Passo 7

Agora, aplicamos a linearidade da transformada inversa:
mathscrL^-11(s+1)(s-2) = -13 e^-t + 13 e^2t

Resposta

mathscrS^-11(s+1)(s-2) = -13 e^-t + 13 e^2 t

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