Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas e e encontrar a área dessa região. Isso envolve conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de integrais para determinar a área entre as curvas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e, depois, calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 8 para simplificar:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar qual das duas curvas está acima da outra em cada intervalo para saber como configurar a integral. Vamos verificar em dois intervalos: de a e de a .
  • Para :
    • Em , por exemplo: Então, .
  • Para :
    • Em : Aqui, .
Então, de a , a curva está acima de , e de a , está acima de .

Passo 4

Vamos configurar as integrais para calcular a área. A área total será a soma das áreas dos dois intervalos:
Á

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( a ):
Fazendo uma substituição , a integral se torna:
Resolvendo:
Segunda Integral ( a ):
Resolvendo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 4 unidades de área.

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