Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas e e encontrar a área dessa região. Isso envolve conhecimentos de gráficos de funções e cálculo de integrais para determinar a área entre as curvas. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e, depois, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 8 para simplificar:
Isso nos dá as soluções:
Portanto, os pontos de interseção são , e .
Passo 3
Agora, vamos analisar qual das duas curvas está acima da outra em cada intervalo para saber como configurar a integral. Vamos verificar em dois intervalos: de a e de a .
Para :
Em , por exemplo:Então, .
Para :
Em :Aqui, .
Então, de a , a curva está acima de , e de a , está acima de .
Passo 4
Vamos configurar as integrais para calcular a área. A área total será a soma das áreas dos dois intervalos:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( a ):
Fazendo uma substituição , a integral se torna:
Resolvendo:
Segunda Integral ( a ):
Resolvendo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 4 unidades de área.