Calcule a integral dupla integral duplaR arctg(y / x) d A, onde
R=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde a região é definida por e . A matéria que a gente vai usar aqui envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e coordenas polares. Vamos precisar transformar essa integral para coordenadas polares pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região de integração . A condição representa anéis concêntricos entre os círculos de raio 1 e 2. Além disso, significa que estamos na região onde é menor ou igual a e positivo, ou seja, no primeiro quadrante entre as linhas e .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta
A expressão simplifica para nessa transformação.

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração em coordenadas polares. A condição se traduz para . E a condição se traduz para , já que implica .

Passo 5

Montamos a integral em coordenadas polares:
integral duplaR arctan(yx) dA = integral0^pi4 integral1^2 theta cdot r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral1^2 r , dr = [ 12 r^2 ]1^2 = 12(4 - 1) = 32 :
32 integral0^pi4 theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi4 theta , dtheta = [ 12 theta^2 ]0^pi4 = 12 ( (pi4)^2 - 0 ) = pi^232 :
32 cdot pi^232 = 3pi^264
Multiplicando pelo fator de antes:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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