Calcule a integral dupla , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde a região é definida por e . A matéria que a gente vai usar aqui envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e coordenas polares. Vamos precisar transformar essa integral para coordenadas polares pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região de integração . A condição representa anéis concêntricos entre os círculos de raio 1 e 2. Além disso, significa que estamos na região onde é menor ou igual a e positivo, ou seja, no primeiro quadrante entre as linhas e .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular. Lembrando que em coordenadas polares:
A expressão simplifica para nessa transformação.

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração em coordenadas polares. A condição se traduz para . E a condição se traduz para , já que implica .

Passo 5

Montamos a integral em coordenadas polares:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Multiplicando pelo fator de antes:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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