Calcule a integral dupla
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
, onde a região
é definida por
e
. A matéria que a gente vai usar aqui envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e coordenas polares. Vamos precisar transformar essa integral para coordenadas polares pra facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração
. A condição
representa anéis concêntricos entre os círculos de raio 1 e 2. Além disso,
significa que estamos na região onde
é menor ou igual a
e positivo, ou seja, no primeiro quadrante entre as linhas
e
.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular. Lembrando que em coordenadas polares:
A expressão
simplifica para
nessa transformação.
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração em coordenadas polares. A condição
se traduz para
. E a condição
se traduz para
, já que
implica
.
Passo 5
Montamos a integral em coordenadas polares:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Multiplicando pelo fator de antes:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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