Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial ordinária (EDO) linear e quer que eu te ajude a encontrar a solução geral usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e o método da variação das constantes. Mas não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos:
Aqui, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando :
Essa é uma EDO linear homogênea, e podemos resolvê-la usando o método dos coeficientes variados ou separação de variáveis. Vamos usar a separação de variáveis aqui.
Reescrevendo:
Dividindo ambos os lados por :
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora que temos a solução da homogênea, vamos aplicar o método da variação das constantes para encontrar uma solução particular da equação completa.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde é uma função que vamos determinar. Vamos derivar em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração, que podemos considerar como parte da solução geral.

Passo 6

Substituímos de volta na expressão para :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.:
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: .
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.

Res.: