Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial ordinária (EDO) linear e quer que eu te ajude a encontrar a solução geral usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e o método da variação das constantes. Mas não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos:
Aqui, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando
:
Essa é uma EDO linear homogênea, e podemos resolvê-la usando o método dos coeficientes variados ou separação de variáveis. Vamos usar a separação de variáveis aqui.
Reescrevendo:
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora que temos a solução da homogênea, vamos aplicar o método da variação das constantes para encontrar uma solução particular da equação completa.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
é uma função que vamos determinar. Vamos derivar
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração, que podemos considerar como parte da solução geral.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.
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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia:
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Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
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Res.: