Calcule a derivada usando as regras de derivação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso está dentro do assunto de cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é perfeita para funções que são uma divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na regra do quociente. A regra do quociente é usada quando temos uma função que é uma fração de duas outras funções, ou seja, . No nosso caso:
  • Numerador (u(x)):
  • Denominador (v(x)):

Passo 3

Agora, precisamos lembrar qual é a regra do quociente para derivadas. A regra diz que:
Isso significa que para derivar nossa função, a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de u(x):
  • Derivada de v(x):

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente com as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo, pelo cálculo direto do limite da razão incremental .
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Calcule a derivada.
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