Calcule a derivada.

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde vamos usar a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas. Para resolver, precisamos identificar as partes da função que estão sendo multiplicadas e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função. Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do produto. Ela diz que se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada é dada por:
Isso significa que precisamos derivar cada parte separadamente e depois combinar os resultados.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
A derivada de é , então para , temos .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde :
Aqui, a derivada de é .

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão final, mas para manter a clareza, deixamos assim:

Resposta

A derivada de é:

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