Calcule a derivada usando as regras de derivação. f(x)=e^xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando as regras de derivação. Vamos precisar da regra do quociente e do conhecimento básico sobre derivadas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função ( uv )' = u'v - uv'v^2 , a derivada dela é dada por:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos derivar u'(x) = e^x . A derivada de é simplesmente , ou seja:

Passo 4

Agora, vamos derivar v'(x) = 2x . A derivada de é , então:

Passo 5

Agora que temos f'(x) = u'v - uv'v^2 = e^x cdot x^2 - e^x cdot 2x(x^2)^2 e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do numerador:
e^x cdot x^2 - e^x cdot 2x = e^x(x^2 - 2x)
E o denominador fica:
(x^2)^2 = x^4

Passo 7

Colocando tudo junto:
f'(x) = e^x(x^2 - 2x)x^4

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo do numerador por f'(x) = e^x ( x^2x^4 - 2xx^4 ) = e^x ( 1x^2 - 2x^3 ) :

Resposta

A derivada de f'(x) = e^x(x^2 - 2x)x^4 = e^x ( 1x^2 - 2x^3 ) é:

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