Calcule o rendimento da máquina térmica em questão (em função de gamma, x e y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o rendimento de uma máquina térmica, ou seja, quão eficiente ela é na conversão de calor em trabalho. A eficiência deve ser expressa em função de três variáveis: gamma, x e y. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de termodinâmica, especialmente sobre processos adiabáticos e ciclo termodinâmico.

Passo 2

A eficiência ( eta) de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho realizado ( W) e o calor absorvido ( Qin), ou seja:
eta = WQin
Mas para relacionar eta com gamma, x e y, precisamos entender como esses parâmetros influenciam o ciclo termodinâmico.

Passo 3

Vamos lembrar que gamma é a relação entre a capacidade calorífica a pressão constante ( Cp) e a capacidade calorífica a volume constante ( Cv):
gamma = CpCv
Essa relação é importante porque afeta como os gases se comportam durante expansão e compressão no ciclo.

Passo 4

Os parâmetros x e y podem representar, por exemplo, as proporções de expansão e compressão no ciclo, ou outras características específicas do processo. Para relacioná-los com a eficiência, precisamos expressar W e Qin em termos de x e y.

Passo 5

Assumindo que x e y representam as frações de energia envolvidas nos processos de expansão e compressão, podemos modelar W e Qin da seguinte forma:
W = x cdot Qin - y cdot Qout
Onde Qout é o calor rejeitado. Mas como queremos em termos de Qin, precisamos relacionar Qout com Qin usando gamma.

Passo 6

Sabemos que, em processos adiabáticos reversíveis, a relação entre Qin e Qout está ligada a gamma através da eficiência de Carnot:
eta = 1 - ToutTin = 1 - QoutQin
Rearranjando, temos:
QoutQin = 1 - eta

Passo 7

Substituindo essa relação na expressão do trabalho W, temos:
W = x cdot Qin - y cdot (1 - eta) cdot Qin
Simplificando:
W = Qin (x - y + y cdot eta)

Passo 8

Agora, retornando à definição de eficiência:
eta = WQin = x - y + y cdot eta
Resolvendo para eta:
eta - y cdot eta = x - y
eta (1 - y) = x - y
eta = x - y1 - y

Resposta

O rendimento da máquina térmica é dado por:
eta = x - y1 - y

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