Calcule o rendimento da máquina térmica em questão (em função de , x e y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o rendimento de uma máquina térmica, ou seja, quão eficiente ela é na conversão de calor em trabalho. A eficiência deve ser expressa em função de três variáveis: , e . Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de termodinâmica, especialmente sobre processos adiabáticos e ciclo termodinâmico.

Passo 2

A eficiência ( ) de uma máquina térmica é definida como a razão entre o trabalho realizado ( ) e o calor absorvido ( ), ou seja:
Mas para relacionar com , e , precisamos entender como esses parâmetros influenciam o ciclo termodinâmico.

Passo 3

Vamos lembrar que é a relação entre a capacidade calorífica a pressão constante ( ) e a capacidade calorífica a volume constante ( ):
Essa relação é importante porque afeta como os gases se comportam durante expansão e compressão no ciclo.

Passo 4

Os parâmetros e podem representar, por exemplo, as proporções de expansão e compressão no ciclo, ou outras características específicas do processo. Para relacioná-los com a eficiência, precisamos expressar e em termos de e .

Passo 5

Assumindo que e representam as frações de energia envolvidas nos processos de expansão e compressão, podemos modelar e da seguinte forma:
Onde é o calor rejeitado. Mas como queremos em termos de , precisamos relacionar com usando .

Passo 6

Sabemos que, em processos adiabáticos reversíveis, a relação entre e está ligada a através da eficiência de Carnot:
Rearranjando, temos:

Passo 7

Substituindo essa relação na expressão do trabalho , temos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, retornando à definição de eficiência:
Resolvendo para :

Resposta

O rendimento da máquina térmica é dado por:

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