Prove que o fluxo de um campo vetorial do tipo
através de uma superfície fechada é nulo. Faça isso dividindo a superfície em duas partes para, em seguida, usar o Teorema de Stokes.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para provar que o fluxo de um campo vetorial do tipo
através de uma superfície fechada é nulo. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes e dividir a superfície fechada em duas partes. Precisamos entender conceitos de campos vetoriais, fluxo, superfície fechada e o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Como nossa superfície é fechada, vamos dividi-la em duas partes,
e
, de forma que
.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Stokes em cada parte da superfície, temos:
Aqui,
e
são as bordas das superfícies
e
, respectivamente.
Passo 4
Como a superfície total
é fechada, as bordas
e
são trajetórias que se anulam mutuamente. Ou seja:
Isso acontece porque as orientações das curvas são opostas.
Passo 5
Portanto, somando os fluxos das duas partes da superfície:
Isso mostra que o fluxo total através da superfície fechada é nulo.
Resposta
O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada é nulo.
Exercícios relacionados
Mostre, usando o Teorema de Gauss para um campo vetorial do tipo
, com
constante, que
Seja
um campo vetorial. Mostre que
em que
é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente
de
. Generalize para as outras componentes por analogia.
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, x e y).
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