Prove que o fluxo de um campo vetorial do tipo F=nabla times A através de uma superfície fechada é nulo. Faça isso dividindo a superfície em duas partes para, em seguida, usar o Teorema de Stokes.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para provar que o fluxo de um campo vetorial do tipo através de uma superfície fechada é nulo. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes e dividir a superfície fechada em duas partes. Precisamos entender conceitos de campos vetoriais, fluxo, superfície fechada e o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial Phi = integral duplaS F cdot dS através de uma superfície é dado por:
Como nossa superfície é fechada, vamos dividi-la em duas partes, e , de forma que .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Stokes em cada parte da superfície, temos:
integral duplaS1 (nabla times A) cdot dS1 = ointpartial S1 A cdot dr
integral duplaS2 (nabla times A) cdot dS2 = ointpartial S2 A cdot dr
Aqui, e são as bordas das superfícies e , respectivamente.

Passo 4

Como a superfície total ointpartial S1 A cdot dr + ointpartial S2 A cdot dr = 0 é fechada, as bordas e são trajetórias que se anulam mutuamente. Ou seja:
Isso acontece porque as orientações das curvas são opostas.

Passo 5

Portanto, somando os fluxos das duas partes da superfície:
integral duplaS (nabla times A) cdot dS = integral duplaS1 (nabla times A) cdot dS1 + integral duplaS2 (nabla times A) cdot dS2 = 0
Isso mostra que o fluxo total através da superfície fechada é nulo.

Resposta

O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é nulo.

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