Calcule a derivada (use a notação de Leibniz).
y = (x * e^x) / (x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada usando a notação de Leibniz, que é . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente e a regra do produto, já que temos uma divisão e um produto dentro da função.

Passo 2

Vamos simplificar a função antes de derivar. Observamos que . Então, podemos reescrever a função como:
Isso facilita a aplicação da regra do produto na derivação.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que se , então:
Neste caso, e .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • A derivada de é , porque a derivada de é ele mesmo.
  • A derivada de é , utilizando a regra da potência, onde .

Passo 5

Substituindo , , e na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
93) integral raiz1+x^2x^4 d x
Calcule a derivada (use a notação de Leibniz).
u = (v + 1) / ln(v)
Calcule as derivadas abaixo usando a Regra da Cadeia e as regras de derivação.
h(t) = ln(2t + 1)
Calcule as derivadas abaixo usando a Regra da Cadeia e as regras de derivação.
y = cos(3 x^2)