Calcule o limite, se existir.
im^2 h(x)=0
18. lim h 0 (2+h)^3-8h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente o conceito de derivada e regras de limite. Mas não se preocupa, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Perceba que é igual a , então podemos reescrever a expressão como .

Passo 3

Essa forma é interessante porque se parece com a definição da derivada de uma função. Lembra quando a derivada de uma função f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h no ponto é definida como:

Passo 4

Comparando com a nossa expressão, vemos que e . Então, a expressão dada no limite é exatamente a definição da derivada de no ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de f'(x) = 3x^2 . Usando a regra de potência, a derivada é:

Passo 6

Para encontrar o valor da derivada no ponto f'(2) = 3 times (2)^2 = 3 times 4 = 12 , substituímos por na expressão da derivada:

Resposta

O limite é igual a 12.

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