Calcule a derivada de
usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando duas regras de derivação: (i) a regra do inverso multiplicativo; (ii) a regra da cadeia. Vamos entender cada uma dessas regras e aplicá-las para encontrar a derivada desejada.
Passo 2
Parte (i): Regra do Inverso Multiplicativo
A regra do inverso multiplicativo geralmente se refere à derivação de funções que são o inverso de outras funções diferenciáveis. Porém, no contexto de funções exponenciais, podemos interpretar essa regra ao aplicar a derivada de
diretamente.
A derivada de
, onde
é uma função de
, é dada por:
No caso de
, temos
. Então:
Aplicando a regra:
Passo 3
Parte (ii): Regra da Cadeia
A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro de outra. Para
, a função externa é
e a função interna é
.
Segundo a regra da cadeia:
Aqui,
, então:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Uma escada com
de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a
da parede?
Determine: (b)
sabendo que
sen
;
Use (1) e a letra (b) para mostrar que
e
.
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech