Calcule a derivada de usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de usando duas regras de derivação: (i) a regra do inverso multiplicativo; (ii) a regra da cadeia. Vamos entender cada uma dessas regras e aplicá-las para encontrar a derivada desejada.

Passo 2

Parte (i): Regra do Inverso Multiplicativo
A regra do inverso multiplicativo geralmente se refere à derivação de funções que são o inverso de outras funções diferenciáveis. Porém, no contexto de funções exponenciais, podemos interpretar essa regra ao aplicar a derivada de diretamente.
A derivada de , onde é uma função de , é dada por:
No caso de , temos . Então:
Aplicando a regra:

Passo 3

Parte (ii): Regra da Cadeia
A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro de outra. Para , a função externa é e a função interna é .
Segundo a regra da cadeia:
Aqui, , então:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada de é .

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Uma escada com de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de , qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a da parede?
Determine: (b) sabendo que sen ;
Use (1) e a letra (b) para mostrar que e .
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech