Uma escada com
de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a
da parede?
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema juntos! Temos uma escada de 5 metros apoiada em uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de 7 m/s. Queremos descobrir a que velocidade o ângulo
entre a escada e o chão está diminuindo quando a base está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente taxas relacionadas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa (
m), a altura (
) é a distância da parede até o topo da escada, e a base (
) é a distância da parede até a base da escada. A relação entre essas medidas é dada pelo teorema de Pitágoras:
Como
é constante, podemos derivar essa equação em relação ao tempo
.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação
em relação ao tempo
, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, queremos encontrar
, que é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Vamos isolar
:
Precisamos encontrar os valores de
quando
m. Usando o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na expressão de
:
Isso nos dá a taxa de variação da altura quando
m.
Passo 6
Para encontrar a taxa de variação do ângulo
, usamos a relação trigonométrica:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Isolando
:
Passo 7
Sabemos que
m,
m, e
m/s. Primeiro, encontramos
usando o triângulo:
Agora, substituímos na expressão de
:
Resposta
A taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base está a 3 metros da parede é
rad/s.
Exercícios relacionados
Determine: (b)
sabendo que
sen
;
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
Calcule a derivada de
usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Use (1) e a letra (b) para mostrar que
e
.