Uma escada com de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de , qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a da parede?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema juntos! Temos uma escada de 5 metros apoiada em uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma taxa de 7 m/s. Queremos descobrir a que velocidade o ângulo entre a escada e o chão está diminuindo quando a base está a 3 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente taxas relacionadas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa ( m), a altura ( ) é a distância da parede até o topo da escada, e a base ( ) é a distância da parede até a base da escada. A relação entre essas medidas é dada pelo teorema de Pitágoras:
Como é constante, podemos derivar essa equação em relação ao tempo .

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo , temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, queremos encontrar , que é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Vamos isolar :
Precisamos encontrar os valores de quando m. Usando o teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na expressão de :
Isso nos dá a taxa de variação da altura quando m.

Passo 6

Para encontrar a taxa de variação do ângulo , usamos a relação trigonométrica:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Isolando :

Passo 7

Sabemos que m, m, e m/s. Primeiro, encontramos usando o triângulo:
Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

A taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base está a 3 metros da parede é rad/s.

Exercícios relacionados

Determine: (b) sabendo que sen ;
Considere . Determine as seguintes informações sobre .
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
Calcule a derivada de usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Use (1) e a letra (b) para mostrar que e .