Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas das funções hiperbólicas que você mencionou. O exercício pede para calcular as derivadas de:
-
(tangente hiperbólica) -
(cotangente hiperbólica) -
(sech) -
(cosech)
Para isso, vamos precisar lembrar das definições das funções hiperbólicas e das regras básicas de derivação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas básicas:
- Seno hiperbólico:
- Cosseno hiperbólico:
- Tangente hiperbólica:
- Cotangente hiperbólica:
- Sech:
- Cosech:
Sabendo isso, vamos descobrir as derivadas de cada uma dessas funções.
Passo 3
Vamos começar com a derivada da tangente hiperbólica,
.
Sabemos que:
Para derivar essa função, usamos a regra do quociente:
Aplicando isso:
Portanto:
Usando a identidade hiperbólica:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a cotangente hiperbólica,
.
Sabemos que:
Usando a regra do quociente:
Portanto:
Novamente, usando a identidade hiperbólica:
Então:
Passo 5
Vamos agora derivar a função .
Sabemos que:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Mas podemos simplificar melhor sabendo que:
Então:
Passo 6
Por último, vamos derivar a função .
Sabemos que:
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Então:
Resposta
As derivadas solicitadas são:
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Use (1) e a letra (b) para mostrar que
e
.
Calcule a derivada de
usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa: