Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i) tgh(x)
(iii) sech x
(ii) cotgh x
(iv) cossech x

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas das funções hiperbólicas que você mencionou. O exercício pede para calcular as derivadas de:
  1. (tangente hiperbólica)
  2. (cotangente hiperbólica)
  3. (sech)
  4. (cosech)
Para isso, vamos precisar lembrar das definições das funções hiperbólicas e das regras básicas de derivação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas básicas:
  • Seno hiperbólico:
  • Cosseno hiperbólico:
  • Tangente hiperbólica:
  • Cotangente hiperbólica:
  • Sech:
  • Cosech:
Sabendo isso, vamos descobrir as derivadas de cada uma dessas funções.

Passo 3

Vamos começar com a derivada da tangente hiperbólica, tanh x.
Sabemos que:
Para derivar essa função, usamos a regra do quociente:
Aplicando isso:
Portanto:
Usando a identidade hiperbólica:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a cotangente hiperbólica, .
Sabemos que:
Usando a regra do quociente:
Portanto:
Novamente, usando a identidade hiperbólica:
Então:

Passo 5

Vamos agora derivar a função .
Sabemos que:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Mas podemos simplificar melhor sabendo que:
Então:

Passo 6

Por último, vamos derivar a função .
Sabemos que:
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia:
Então:

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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