Use (1) e a letra (b) para mostrar que e .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a derivada de é e a derivada de é . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas das funções hiperbólicas. Vamos precisar lembrar das definições de e , além das regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas:
Essas definições são essenciais para calcular as derivadas usando as propriedades das exponenciais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . Usando a definição:
A derivada de uma função é o limite da taxa de variação dessa função. Mas aqui, como as funções exponenciais são diferenciáveis em todo lugar, podemos derivar diretamente:
Então, mostramos que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de . Novamente, usando a definição:
Derivando termo a termo:
Assim, mostramos que .

Resposta

Mostramos que a derivada de é e a derivada de é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Uma escada com de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de , qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a da parede?
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa: