Use (1) e a letra (b) para mostrar que
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que a derivada de
é
e a derivada de
é
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas das funções hiperbólicas. Vamos precisar lembrar das definições de
e
, além das regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas:
Essas definições são essenciais para calcular as derivadas usando as propriedades das exponenciais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
. Usando a definição:
A derivada de uma função é o limite da taxa de variação dessa função. Mas aqui, como as funções exponenciais são diferenciáveis em todo lugar, podemos derivar diretamente:
Então, mostramos que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
. Novamente, usando a definição:
Derivando termo a termo:
Assim, mostramos que
.
Resposta
Mostramos que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de
usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
Uma escada com
de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a
da parede?
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa: