Determine: (b) d/y d/x sabendo que x^y = y sen x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada sabendo que . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas implícitas, onde temos uma equação que envolve e e precisamos derivar ambos os lados em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do logaritmo para lidar com a parte e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar o lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Simplificando a esquerda usando a propriedade dos logaritmos :

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se, é uma função de , então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando a esquerda:
Derivando a direita:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas obtidas:

Passo 6

Vamos isolar . Primeiramente, reunimos os termos que contêm de um lado:
Fatorando :

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada é:

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