Determine: (b)
sabendo que
sen
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada
sabendo que
. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas implícitas, onde temos uma equação que envolve
e
e precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do logaritmo para lidar com a parte
e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar o lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Simplificando a esquerda usando a propriedade dos logaritmos
:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se,
é uma função de
, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando a esquerda:
Derivando a direita:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas obtidas:
Passo 6
Vamos isolar
. Primeiramente, reunimos os termos que contêm
de um lado:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(a) O domínio e assíntotas vericais/horizontais
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Considere
. Determine as seguintes informações sobre
.
(d) Os intervalos onde é côncava para cima/baixo e pontos de inflexão.
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Uma escada com
de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, qual a taxa de decrescimento do ângulo entre a escada e o solo quando a base da escada está a
da parede?
Calcule a derivada de
usando a regra
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.
(i) do inverso multiplicativo;
(ii) da cadeia.