Calcule a derivada de
usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função
e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular a derivada de
usando técnicas de Cálculo 1. Depois, a gente vai refazer esse cálculo usando uma função de duas variáveis,
, e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar saber sobre derivadas, diferenciação de funções exponenciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
usando técnicas de Cálculo 1. Para derivar funções do tipo
, a gente usa uma técnica chamada diferenciação logarítmica. Isso porque a derivada de uma função exponencial onde a base e o expoente são variáveis pode ser complicada de lidar diretamente.
Passos:
- Aplicar o logaritmo natural: Vamos começar aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação
. - Simplificar usando propriedades dos logaritmos: Sabemos que
, então: - Diferenciar ambos os lados em relação a
: Aqui usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito. - Simplificar a equação: O termo
simplifica para 1. - Isolar
: Multiplicamos ambos os lados por . - Substituir
por :
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
usando a função
e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Aqui, consideramos
e
, então
.
Passos:
- Definir as funções intermediárias: Seja
e , então . - Calcular as derivadas parciais de
: - Derivada parcial de
em relação a : - Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
- Calcular as derivadas de
e em relação a : - Aplicar a regra da cadeia: A derivada total de
em relação a é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas correspondentes: - Substituir os valores calculados:
- Substituir
e : - Simplificar a expressão:
Resposta
A derivada de
é
.