Calcule a derivada de x^x usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função f(y, z) = y^z e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular a derivada de usando técnicas de Cálculo 1. Depois, a gente vai refazer esse cálculo usando uma função de duas variáveis, , e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Vamos precisar saber sobre derivadas, diferenciação de funções exponenciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de usando técnicas de Cálculo 1. Para derivar funções do tipo , a gente usa uma técnica chamada diferenciação logarítmica. Isso porque a derivada de uma função exponencial onde a base e o expoente são variáveis pode ser complicada de lidar diretamente.
Passos:
  1. Aplicar o logaritmo natural: Vamos começar aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação .
  2. Simplificar usando propriedades dos logaritmos: Sabemos que , então:
  3. Diferenciar ambos os lados em relação a : Aqui usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito.
  4. Simplificar a equação: O termo simplifica para 1.
  5. Isolar : Multiplicamos ambos os lados por .
  6. Substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de usando a função e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Aqui, consideramos e , então .
Passos:
  1. Definir as funções intermediárias: Seja e , então .
  2. Calcular as derivadas parciais de :
    • Derivada parcial de em relação a :
    • Derivada parcial de em relação a :
  3. Calcular as derivadas de e em relação a :
  4. Aplicar a regra da cadeia: A derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas correspondentes:
  5. Substituir os valores calculados:
  6. Substituir e :
  7. Simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de é .

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