Mostre que
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrarmos que o limite quando
se aproxima de
da derivada parcial em relação a
de
não existe. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada parcial e depois analisar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembra que para derivar uma função da forma
, usamos a regra do poder:
.
Aplicando isso aqui, onde
e
, temos:
Passo 3
Agora que temos a derivada parcial, precisamos analisar o limite dessa expressão quando
se aproxima de
. Ou seja, queremos ver:
Para verificar se esse limite existe, vamos analisar se ele tem o mesmo valor ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 4
Vamos tentar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo
na expressão da derivada parcial:
Agora, calculando o limite quando
:
Caminho 2:
Substituindo
na expressão da derivada parcial:
Calculando o limite quando
:
Passo 5
Embora ambos os caminhos estejam levando a
, precisamos verificar se há algum caminho que leva a um valor diferente ou a um comportamento que não seja consistente. Vamos tentar um caminho onde
, onde
é uma constante.
Substituindo
na derivada parcial:
Novamente, o limite quando
é
.
Passo 6
Apesar de todos os caminhos testados levar a
, na análise de limites envolvendo infinitos, dizemos que o limite não existe de maneira coerente, já que não estamos lidando com um valor finito específico. Além disso, diferentes caminhos podem levar a taxas de crescimento diferentes para o infinito, o que reforça que não há um único valor para o limite.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.
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Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Considere
e a curva
.
a) Encontre
a) Encontre
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em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Calcule a derivada de
usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função
e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.