Mostre que lim (x, y) (0,0) partialpartial x(x^2+y^2)^1 / 3 não existe.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para mostrarmos que o limite quando se aproxima de da derivada parcial em relação a de não existe. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada parcial e depois analisar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial x(x^2 + y^2)^1/3 = 13 cdot (x^2 + y^2)^-2/3 cdot 2x = 2x3(x^2 + y^2)^2/3 em relação a . Lembra que para derivar uma função da forma , usamos a regra do poder: .
Aplicando isso aqui, onde e , temos:

Passo 3

Agora que temos a derivada parcial, precisamos analisar o limite dessa expressão quando lim(x, y) (0,0) 2x3(x^2 + y^2)^2/3 se aproxima de . Ou seja, queremos ver:
Para verificar se esse limite existe, vamos analisar se ele tem o mesmo valor ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 4

Vamos tentar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: 2x3(x^2 + 0)^2/3 = 2x3x^4/3 = 23x^-1/3
Substituindo limx 0 23x^-1/3 = infty na expressão da derivada parcial:
2x3(x^2 + x^2)^2/3 = 2x3(2x^2)^2/3 = 2x3 cdot 2^2/3 x^4/3 = 23 cdot 2^2/3 x^-1/3
Agora, calculando o limite quando limx 0 23 cdot 2^2/3 x^-1/3 = infty :
Caminho 2:
Substituindo na expressão da derivada parcial:
Calculando o limite quando :

Passo 5

Embora ambos os caminhos estejam levando a 2x3(x^2 + (kx)^2)^2/3 = 2x3x^4/3(1 + k^2)^2/3 = 23(1 + k^2)^2/3x^-1/3 , precisamos verificar se há algum caminho que leva a um valor diferente ou a um comportamento que não seja consistente. Vamos tentar um caminho onde , onde é uma constante.
Substituindo na derivada parcial:
Novamente, o limite quando é .

Passo 6

Apesar de todos os caminhos testados levar a , na análise de limites envolvendo infinitos, dizemos que o limite não existe de maneira coerente, já que não estamos lidando com um valor finito específico. Além disso, diferentes caminhos podem levar a taxas de crescimento diferentes para o infinito, o que reforça que não há um único valor para o limite.

Resposta

Portanto, o limite não existe.

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