Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[3, -1], [9, -3]] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente classificar o ponto crítico (0,0) de um sistema linear e dizer se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente envolvendo valores próprios (ou autovalores) da matriz que representa o sistema. Precisaremos encontrar esses valores próprios e analisar o comportamento do sistema a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Temos:
Para encontrar os valores próprios dessa matriz, precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz do sistema e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Este valor próprio tem multiplicidade 2 (ou seja, ele se repete duas vezes). Como ambos os valores próprios são reais e iguais a zero, estamos diante de um ponto crítico não hiperbolico. Nesse caso, a classificação típica envolve analisar mais a fundo, mas como os valores próprios são nulos, o sistema pode ter comportamentos diferentes dependendo das direções no espaço.

Passo 5

Agora, vamos analisar a estabilidade:
  • Se todos os valores próprios têm parte real negativa, o ponto é estável.
  • Se algum valor próprio tem parte real positiva, o ponto é instável.
  • Se os valores próprios têm parte real negativa, e ainda, se forem reais e distintos, o ponto é assintoticamente estável.
No nosso caso, os valores próprios são . Como não há partes reais negativas ou positivas, o sistema está no limite de estabilidade. Tecnicamente, ele é estável, mas não assintoticamente estável porque não retorna para o ponto de equilíbrio de forma exponencial.

Resposta

O ponto crítico (0,0) é um nó não hiperbolico e é estável, mas não assintoticamente estável nem instável.

Exercícios relacionados

Mostre que lim (x, y) (0,0) partialpartial x(x^2+y^2)^1 / 3 não existe.
Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
X' = [[6, -1], [5, 4]] X
Calcule a derivada de x^x usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função f(y, z) = y^z e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(f) lim a -2 raiza(a-1)