Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente classificar o ponto crítico
de um sistema linear e dizer se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente envolvendo valores próprios (ou autovalores) da matriz que representa o sistema. Precisaremos encontrar esses valores próprios e analisar o comportamento do sistema a partir daí.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. Temos:
Para encontrar os valores próprios dessa matriz, precisamos resolver a equação característica:
onde
é a matriz do sistema e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação
, encontramos os valores próprios:
Este valor próprio tem multiplicidade 2 (ou seja, ele se repete duas vezes). Como ambos os valores próprios são reais e iguais a zero, estamos diante de um ponto crítico não hiperbolico. Nesse caso, a classificação típica envolve analisar mais a fundo, mas como os valores próprios são nulos, o sistema pode ter comportamentos diferentes dependendo das direções no espaço.
Passo 5
Agora, vamos analisar a estabilidade:
- Se todos os valores próprios têm parte real negativa, o ponto é estável.
- Se algum valor próprio tem parte real positiva, o ponto é instável.
- Se os valores próprios têm parte real negativa, e ainda, se forem reais e distintos, o ponto é assintoticamente estável.
No nosso caso, os valores próprios são
. Como não há partes reais negativas ou positivas, o sistema está no limite de estabilidade. Tecnicamente, ele é estável, mas não assintoticamente estável porque não retorna para o ponto de equilíbrio de forma exponencial.
Resposta
O ponto crítico
é um nó não hiperbolico e é estável, mas não assintoticamente estável nem instável.
Exercícios relacionados
Mostre que
não existe.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
Calcule a derivada de
usando técnicas de cálculo 1. Depois, calcule novamente usando a função
e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Determine, se existir, os seguintes limites:
(f)
(f)