Calcule a derivada das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . O tema aqui é cálculo diferencial, mais especificamente derivadas de funções compostas e produtos. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Note que pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos e radicais:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se temos , então a derivada . Aqui, vamos identificar:

Passo 4

Primeiro, vamos derivar :
Usamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar :
Aqui, aplicamos a regra do quociente, que diz que se , então .
Calculando e :
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo , , e :

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Note que , então podemos reescrever:

Passo 8

Juntando os dois termos simplificados:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função é:

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Esboce o gráfico da função:
(b) Existe ?
Calcule os seguintes Limites:
Calcule a derivada das funções:
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