Calcule os seguintes Limites: lim x 0 ln (1+x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural se comporta perto de zero e usar algumas técnicas de cálculo para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando se aproxima de 0.
  • quando se aproxima de .
  • O denominador também se aproxima de 0.
Então, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indefinida. Quando nos deparamos com isso, podemos usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Neste caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = 11 + x e g'(x) = 1 :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as funções pelas suas derivadas:
limx to 0 ln(1 + x)x = limx to 0 11 + x1 = limx to 0 11 + x

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite da nova expressão:
limx to 0 11 + x = 11 + 0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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