Calcule os seguintes Limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural se comporta perto de zero e usar algumas técnicas de cálculo para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando se aproxima de 0.
  • quando se aproxima de .
  • O denominador também se aproxima de 0.
Então, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indefinida. Quando nos deparamos com isso, podemos usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Neste caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as funções pelas suas derivadas:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite da nova expressão:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Determine os seguintes limites:
(f) .
Esboce o gráfico da função:
(b) Existe ?
Calcule a derivada das funções: