Calcule os seguintes Limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural se comporta perto de zero e usar algumas técnicas de cálculo para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
se aproxima de 0.
-
quando se aproxima de . - O denominador
também se aproxima de 0.
Então, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indefinida. Quando nos deparamos com isso, podemos usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Neste caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as funções pelas suas derivadas:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite da nova expressão:
Resposta
O limite é igual a 1.