Calcule a derivada das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função para aplicar a regra do produto. A função é composta por duas partes:
A regra do produto diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, usamos a regra do quociente, que para é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculemos e :

Passo 5

Agora, aplique a regra do quociente para encontrar :
Simplificando:

Passo 6

Simplifique o numerador usando a identidade trigonométrica :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
A derivada de é:
Isso vem da regra da cadeia, já que .

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 9

Podemos simplificar a expressão. Observando que e , substituímos:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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