Determine se o campo vetorial F = <sen(y), x, 0> é conservativo ou não.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos determinar se ele é conservativo ou não.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especialmente conceitos de campos vetoriais conservativos.
O que precisaremos: Vamos verificar se o campo é conservativo analisando seu rotacional. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Em termos mais simples, existe uma “função potencial” cuja derivada dá o campo vetorial.
Teoria aplicada: Campo vetorial é conservativo se existe uma função tal que .

Passo 3

Para verificar se é conservativo, podemos calcular o rotacional de . Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço considerado, então é conservativo.
Fórmula do rotacional:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional de :
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 5

Agora, juntando as componentes calculadas, temos:
Para ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Ou seja:

Passo 6

A equação é verdadeira quando , onde é um número inteiro. Isso significa que o rotacional de é zero apenas nesses valores específicos de .

Passo 7

Como o rotacional de não é zero para todos os valores de , concluímos que o campo vetorial não é conservativo em geral.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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