Determine se o campo vetorial
é conservativo ou não.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos determinar se ele é conservativo ou não.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especialmente conceitos de campos vetoriais conservativos.
O que precisaremos: Vamos verificar se o campo é conservativo analisando seu rotacional. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Em termos mais simples, existe uma “função potencial” cuja derivada dá o campo vetorial.
Teoria aplicada: Campo vetorial
é conservativo se existe uma função
tal que
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, podemos calcular o rotacional de
. Se o rotacional for igual a zero em todo o espaço considerado, então
é conservativo.
Fórmula do rotacional:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional de
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 5
Agora, juntando as componentes calculadas, temos:
Para
ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Ou seja:
Passo 6
A equação
é verdadeira quando
, onde
é um número inteiro. Isso significa que o rotacional de
é zero apenas nesses valores específicos de
.
Passo 7
Como o rotacional de
não é zero para todos os valores de
, concluímos que o campo vetorial
não é conservativo em geral.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.