Calcule a derivada: y = x^(x^x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais onde a base e o expoente são funções de . Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Isso porque, ao usar o logaritmo, conseguimos trazer o expoente para um lugar onde é mais fácil trabalhar com ele.
Então, temos:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 4

Nosso próximo passo é diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Para o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Para o lado direito, temos um produto de duas funções de : e . Então, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de é :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e de .
Primeiro, para , usamos a diferenciação logarítmica novamente:
Segundo, para , a derivada é:

Passo 6

Substituindo essas derivadas de volta na equação do Passo 4:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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