Calcule a derivada:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais onde a base e o expoente são funções de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos funções onde a variável
está tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Isso porque, ao usar o logaritmo, conseguimos trazer o expoente para um lugar onde é mais fácil trabalhar com ele.
Então, temos:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 4
Nosso próximo passo é diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Para o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Para o lado direito, temos um produto de duas funções de
:
e
. Então, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de
é
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e de
.
Primeiro, para
, usamos a diferenciação logarítmica novamente:
Segundo, para
, a derivada é:
Passo 6
Substituindo essas derivadas de volta na equação do Passo 4:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é: