Calcule as integrais indefinidas utilizando o método da substituição: integral 1raiz1+x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de usando o método da substituição. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente na técnica de substituição, que é útil quando a integral fica mais fácil após trocar uma parte da expressão por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o denominador tem u = 1 + x , então vamos deixar:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 1 em relação a du = dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Com essas substituições, vamos reescrever a integral original em termos de integral 1raiz1+x , dx = integral 1raizu , du :
Agora a integral está mais simples e em termos de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral u^-12 , du = 2u^12 + C em relação a . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo 2u^12 + C = 2raiz1 + x + C de volta para , temos:

Resposta

A integral indefinida de 2raiz1 + x + C é:

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