Calcule a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que têm expoentes que também são funções, usando técnicas como diferenciação logarítmica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar regras de derivação em funções exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a derivação usando logaritmos. Isso nos ajuda a lidar com expoentes complicados. Então, vamos tirar o logaritmo natural (ln) dos dois lados da equação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então usamos a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos derivar o lado direito. Precisamos aplicar a regra do produto, que nos diz que a derivada de é . Aqui, e :

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de . Usando diferenciação logarítmica novamente:
Agora, a derivada de :

Passo 7

Substituindo essas derivadas de volta na equação anterior:

Passo 8

Agora, voltando à equação original onde tínhamos , substituímos o lado direito pelo que acabamos de encontrar:

Passo 9

Finalmente, para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
E lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

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Seja .
Calcule
(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Para , determine as classes de equivalência dos elementos e 2.
Esboce os conjuntos de nível de , para os seguintes valores de
Seja ou . Uma função é dita homogênea de grau , se para todo . Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau