(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Para , determine as classes de equivalência dos elementos e 2.

Passo 1

OK, vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos que descobrir as classes de equivalência dos números -1, -2, 1 e 2 no conjunto dos inteiros, usando a relação de congruência módulo 4. Para isso, vamos usar conceitos de congruência e classes de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois números serem congruentes módulo 4. Dizemos que se a diferença entre eles, , for divisível por 4. Em outras palavras, se divide , então e estão na mesma classe de equivalência.

Passo 3

As classes de equivalência módulo 4 são grupos de números que, quando divididos por 4, deixam o mesmo resto. Existem quatro classes principais: uma para cada possível resto quando dividimos por 4, que são 0, 1, 2 e 3. Então, as classes são [0], [1], [2] e [3].

Passo 4

Vamos determinar qual dessas classes cada número pertence, encontrando o resto da divisão de cada número por 4:
  • Para :
    Portanto, , e a classe é [3].
  • Para :
    Então, , e a classe é [2].
  • Para :
    Assim, , e a classe é [1].
  • Para :
    Então, , e a classe é [2].

Resposta

As classes de equivalência dos números -1, -2, 1 e 2 no conjunto dos inteiros módulo 4 são:

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Seja .
Calcule
Calcule a derivada.