Seja ou . Uma função é dita homogênea de grau , se para todo . Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa verificar se ela é homogênea. Função homogênea de grau significa que, se a gente multiplicar as variáveis por um número , a função toda será multiplicada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa propriedade e aplicar na função dada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a definição de função homogênea. Isso significa que vamos substituir por e por na função .
Então,

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que obtemos:
Perceba que é o mesmo que . Então podemos escrever:
Isso quer dizer que, ao multiplicar e por , a função inteira é multiplicada por .

Resposta

A função é homogênea de grau .

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Calcule a derivada.
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;
Calcule: