Calcule a derivada de y = (2 x - 1)^7 (5 - 3 x)^8. Simplifique sua resposta ao máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivada! A gente precisa achar a derivada da função . Vamos usar cálculo, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, lembrando que quando a gente tem o produto de duas funções, a derivada é dada pela regra do produto: se , então . Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar . Usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Então,
(sabendo que a derivada de é 2).

Passo 4

Agora, vamos derivar também usando a regra da cadeia:
(a derivada de é -3).

Passo 5

Aplicando a regra do produto, a derivada de fica:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, temos:

Passo 7

Para simplificar ainda mais, vamos fatorar os termos em comum. Observamos que e são comuns:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Primeiro, multiplica:
Então:

Passo 9

Substituindo de volta:
Podemos fatorar 2 do último termo:
Então,

Resposta

A derivada simplificada é:

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