Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada indicada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar o sólido cujo volume é dado por uma integral tripla específica. Isso cai dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente no estudo de integrais múltiplas para encontrar volumes de sólidos. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem o espaço tridimensional que forma o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral dada é:
Aqui, a variável mais interna é
, depois
, e por último
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de 0 até
, e para cada par de
e
,
varia de 0 até
.
Passo 3
Vamos entender cada intervalo:
- Para
: Varia de 0 a 2. Isso define a extensão do sólido ao longo do eixo . - Para
: Varia de 0 a . Isso significa que, conforme aumenta, o valor máximo de diminui, formando uma inclinação no sólido. - Para
: Varia de 0 a . Isso mostra que o comprimento do sólido ao longo do eixo depende de , e tem a forma de uma parábola invertida.
Passo 4
Para desenhar o sólido, vamos considerar cada componente:
- No eixo
: De 0 a 2. - No eixo
: Para cada , vai de 0 a , então no plano , isso forma uma linha reta descendo de (0,2) a (2,0). - No eixo
: Para cada , vai de 0 a . Isso é uma parábola em , que no plano se abre para baixo a partir de com o vértice em .
Passo 5
Visualizando tudo junto:
- O sólido começa na origem (0,0,0).
- Se movemos ao longo do eixo
de 0 a 2, para cada , diminui linearmente de 2 para 0. - Paralelamente, ao longo do eixo
, a extensão máxima é dada por , formando uma “base” que se estreita conforme aumenta.
Isso resulta em um sólido que tem a forma de uma espécie de “tenda” parabólica que se inclina e estreita conforme avançamos no eixo
.
Resposta
O sólido é uma figura tridimensional que se estende de
a
. Para cada valor de
, o sólido tem uma largura ao longo do eixo
que varia de 0 até
e uma altura ao longo do eixo
que diminui linearmente de 2 até 0 conforme
aumenta. Visualmente, isso forma uma espécie de “tenda” parabólica inclinada, onde a base é uma parábola no plano
e a altura diminui proporcionalmente no eixo
à medida que
aumenta.
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A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.
Ache as equações para o custo
de
passagens para um usuário do cartão azul. Faça o gráfico de
; tratando
como uma variável contínua (ainda que só admita valores inteiros).
Calcule
Calcule a derivada de
. Simplifique sua resposta ao máximo.