Calcule a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso tá relacionado ao conteúdo de derivadas de funções racionais, ou seja, funções que são quocientes de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que ajuda a encontrar a derivada quando temos uma fração de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Quociente. Se você tem uma função , a derivada dela, , é dada por:
Isso quer dizer que a derivada de uma fração é igual à derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos identificar e na nossa função:
Precisamos calcular as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 4

Vamos começar com . A derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de é , onde é uma constante.
Agora, vamos para . A derivada de é:
Isso porque a derivada de é .

Passo 5

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar no numerador:
Isso deixa a expressão mais limpa e organizada.

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada.
Calcule a derivada.
Calcule .
Dado , responda:
a) Represente os conjuntos abaixo na forma tabular, ou seja, listando os elementos de cada conjunto:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
b) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)