Dado A={1,3,4,8,9,15,16,17,21,22,25}, responda:
a) Represente os conjuntos abaixo na forma tabular, ou seja, listando os elementos de cada conjunto:
(i) B1 = {a em A ; raiz(a) em N}
(ii) B_2 = {a em A ; raiz(a) em A}
(iii) B3 = {a em A; (a + 1) em A}
(iv) B4 = {a in A: a^2 <= 4a - 1}
b) Determine:
(i) (B2 ∩ B3) ∪ B4
(ii) B1 - B2
(iii) (B1 ∩ B2) - (B3 ∪ B4)
(iv) rho(B1) U rho(B3 - B4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto e precisamos trabalhar com alguns subconjuntos dele, chamados e . A gente vai listar os elementos de cada e depois fazer umas operações com esses conjuntos. Para isso, vamos precisar entender conceitos de conjuntos, interseção, união e diferença de conjuntos, além de funções matemáticas como raiz quadrada e operações básicas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde precisamos representar os conjuntos e listando seus elementos.
a (i)
Aqui, estamos procurando elementos de cuja raiz quadrada é um número natural ( ). Ou seja, precisa ser um número inteiro positivo.
Vamos verificar cada elemento de :
  • : → inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → não é inteiro
  • : → inteiro
Então, .

Passo 3

a (ii)
Aqui, estamos procurando elementos de cuja raiz quadrada também está em . Vamos calcular a raiz quadrada de cada elemento de e verificar se está em :
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → não está em
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → não está em
  • : → não está em
  • : → não está em
Então, .

Passo 4

a (iii)
Aqui, queremos os elementos de onde também pertence a . Vamos verificar:
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → está em
  • : → não está em
  • : → não está em
Então, .

Passo 5

a (iv)
Aqui, precisamos encontrar os elementos de que satisfazem a inequação . Vamos resolver a inequação para encontrar os valores de que a satisfazem.
Primeiro, rearranjando a inequação:
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de :
Como , as raízes são aproximadamente e .
A inequação é satisfeita para valores de entre e , ou seja, .
Agora, vamos verificar quais elementos de estão nesse intervalo:
  • : Sim, está entre 0.268 e 3.732
  • : Sim, está entre 0.268 e 3.732
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
  • : Não
Então, .

Passo 6

Agora que já listamos todos os conjuntos e , vamos para a parte b), onde faremos algumas operações com esses conjuntos.
b (i)
Primeiro, vamos encontrar a interseção :
A única elemento comum é , então .
Agora, vamos fazer a união com :
Então, .

Passo 7

b (ii)
A diferença significa pegar todos os elementos que estão em mas não estão em .
Removendo de , restam e .
Então, .

Passo 8

b (iii)
Primeiro, vamos encontrar :
A interseção é .
Agora, vamos encontrar :
A união é .
Agora, fazemos a diferença:
Removendo e , resta .
Então, .

Passo 9

b (iv)
Aqui, geralmente representa a relação complementar de em relação a , ou seja, todos os elementos de que não estão em .
Primeiro, vamos encontrar :
  • Complemento:
Agora, vamos encontrar :
  • Diferença:
Agora, o complemento de :
Finalmente, fazemos a união dos complementos:
A união resulta em .

Resposta

a)
b)

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