Calcule f'(x). f(x) = (x^2 + 1)^(cos x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de . Esse exercício envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e a diferenciação de funções com expoentes que também dependem de . Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais onde a base e o expoente são funções do .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Quando temos uma função na forma , onde tanto quanto dependem de , podemos usar logaritmos para ajudar na diferenciação. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Precisamos agora aplicar a regra do produto para derivar o lado direito:

Passo 6

Calculando cada parte separadamente:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é (usando a regra da cadeia).
Substituindo essas derivadas na expressão:

Passo 7

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Finalmente, substituímos pela expressão original :

Resposta

A derivada de é:

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