Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de
. Esse exercício envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e a diferenciação de funções com expoentes que também dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais onde a base e o expoente são funções do
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Quando temos uma função na forma
, onde tanto
quanto
dependem de
, podemos usar logaritmos para ajudar na diferenciação. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Precisamos agora aplicar a regra do produto para derivar o lado direito:
Passo 6
Calculando cada parte separadamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra da cadeia).
Substituindo essas derivadas na expressão:
Passo 7
Agora, temos:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
pela expressão original
:
Resposta
A derivada de
é: