Calcule as derivadas abaixo através da definição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a definição de limite. Então, a matéria que a gente está trabalhando aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada usando limite. A derivada de em é dada por:
Essa fórmula basicamente nos diz como a função muda quando fazemos uma pequena variação em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função . Vamos substituir e na fórmula:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do limite, temos:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração:
Como não temos mais na expressão, o limite quando tende a zero é simplesmente:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.
Considere a seqüência assim definida: para . Escreva explicitanlente os primeiros quatro ou cinco termos dessa seqüêncra. Prove que ela é uma seqüência convergente e calcule seu limite.
Chama-se custo marginal de produção de um artigo o custo adicional para se produzir o artigo além da quantidade já prevista. Na prática, a função custo marginal é a derivada da função custo. Uma fábrica de componentes eletrônicos tem custo de produção dados por:

Com C em reais e x a quantidade de componentes produzidos. O custo marginal que essa fábrica tem pra produzir 800 componentes eletrônicos é equivalente a:
a)100 reais.
b) 1700 reais
c)1000 reais.
d) 800 reais.
Um fabricante de câmeras digitais que, quando x centenas de câmeras são produzidas, o lucro total é:
em milhares de reais.
a) Determine a função lucro marginal.
b) Determine o lucro marginal para níveis de produção e x =80.
c) Interprete os resultados do item (b).