Um fabricante de câmeras digitais que, quando x centenas de câmeras são produzidas, o lucro total é:
em milhares de reais.
a) Determine a função lucro marginal.
b) Determine o lucro marginal para níveis de produção
e x =80.
c) Interprete os resultados do item (b).
a) Determine a função lucro marginal.
b) Determine o lucro marginal para níveis de produção
c) Interprete os resultados do item (b).
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que representa o lucro total de um fabricante de câmeras digitais, em função da quantidade produzida, expressa por
, onde
é em centenas de câmeras e
está em milhares de reais.
O conteúdo aqui envolve Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de função marginal, que nos ajuda a entender como o lucro muda quando a produção varia um pouquinho. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a derivada da função
, que nos dá a função de lucro marginal, e depois avaliar essa derivada para diferentes valores de
.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) que pede para determinar a função lucro marginal.
A função marginal é basicamente a derivada da função de lucro total em relação à quantidade produzida. Isso nos mostra a taxa de variação do lucro quando a produção muda.
Então, vamos derivar
em relação a
:
Aplicando a regra de derivação para cada termo:
Calculando cada derivada:
Então, a função lucro marginal é:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) que solicita o cálculo do lucro marginal para os níveis de produção
,
e
.
Vamos usar a função margem que encontramos:
Vamos substituir cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Por fim, vamos interpretar os resultados obtidos na parte c).
A função lucro marginal
nos diz quanto o lucro total está aumentando ou diminuindo quando a produção aumenta em uma unidade (neste caso, em centenas de câmeras).
-
Para
(ou 1000 câmeras): Isso significa que, nesse nível de produção, a cada 100 câmeras adicionais produzidas, o lucro total aumenta em aproximadamente R$25,35 mil. -
Para
(ou 5000 câmeras): Aqui, o aumento no lucro é menor: a cada 100 câmeras adicionais, o lucro aumenta em R$5,75 mil. Isso indica que os ganhos adicionais estão diminuindo conforme a produção aumenta. -
Para
(ou 8000 câmeras): Nesse caso, o lucro marginal é negativo. Isso quer dizer que, produzindo mais 100 câmeras além de 8000, o lucro total diminui em R$31 mil. Provavelmente, os custos começaram a superar os ganhos, e aumentar a produção está prejudicando o lucro.
Resposta
A função lucro marginal é
. Para
,
; para
,
; e para
,
.