Um fabricante de câmeras digitais que, quando x centenas de câmeras são produzidas, o lucro total é:
P(x) = -0,0035 x^3 + 0,07 x^2 + 25 x - 200
em milhares de reais.
a) Determine a função lucro marginal.
b) Determine o lucro marginal para níveis de produção x = 10, x = 50 e x =80.
c) Interprete os resultados do item (b).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que representa o lucro total de um fabricante de câmeras digitais, em função da quantidade produzida, expressa por , onde é em centenas de câmeras e está em milhares de reais.
O conteúdo aqui envolve Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de função marginal, que nos ajuda a entender como o lucro muda quando a produção varia um pouquinho. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a derivada da função , que nos dá a função de lucro marginal, e depois avaliar essa derivada para diferentes valores de .

Passo 2

Vamos começar com a parte a) que pede para determinar a função lucro marginal.
A função marginal é basicamente a derivada da função de lucro total em relação à quantidade produzida. Isso nos mostra a taxa de variação do lucro quando a produção muda.
Então, vamos derivar em relação a :
Aplicando a regra de derivação para cada termo:
Calculando cada derivada:
Então, a função lucro marginal é:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) que solicita o cálculo do lucro marginal para os níveis de produção , e .
Vamos usar a função margem que encontramos:
Vamos substituir cada valor de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Por fim, vamos interpretar os resultados obtidos na parte c).
A função lucro marginal nos diz quanto o lucro total está aumentando ou diminuindo quando a produção aumenta em uma unidade (neste caso, em centenas de câmeras).
  1. Para (ou 1000 câmeras):
    Isso significa que, nesse nível de produção, a cada 100 câmeras adicionais produzidas, o lucro total aumenta em aproximadamente R$25,35 mil.
  2. Para (ou 5000 câmeras):
    Aqui, o aumento no lucro é menor: a cada 100 câmeras adicionais, o lucro aumenta em R$5,75 mil. Isso indica que os ganhos adicionais estão diminuindo conforme a produção aumenta.
  3. Para (ou 8000 câmeras):
    Nesse caso, o lucro marginal é negativo. Isso quer dizer que, produzindo mais 100 câmeras além de 8000, o lucro total diminui em R$31 mil. Provavelmente, os custos começaram a superar os ganhos, e aumentar a produção está prejudicando o lucro.

Resposta

A função lucro marginal é . Para , ; para , ; e para , .

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