Considere a seqüência assim definida: para . Escreva explicitanlente os primeiros quatro ou cinco termos dessa seqüêncra. Prove que ela é uma seqüência convergente e calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre sequências recursivas! A gente vai trabalhar com uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é definido por . O que vamos precisar aqui é entender como calcular os primeiros termos dessa sequência e, depois, mostrar que ela converge para um certo valor quando cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros quatro ou cinco termos da sequência para entender como ela se comporta. Já sabemos que .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :
Vimos que os termos estão aumentando e se aproximando de um certo valor.

Passo 7

Agora, vamos provar que a sequência é convergente. Para isso, usamos o conceito de sequência monótona e limitada. Primeiro, mostramos que a sequência é crescente:
Isso é verdade porque para , e como começamos com , os termos continuam aumentando.

Passo 8

Em seguida, mostramos que a sequência é limitada superiormente. Observamos que os termos estão se aproximando de 2, então assumimos que 2 é um limite superior.

Passo 9

Por ser uma sequência que é crescente e está limitada acima, pelo Teorema de Monotonia, ela é convergente.

Passo 10

Para encontrar o limite , assumimos que as duas últimas parcelas da sequência são iguais, ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Descartamos a solução negativa, então:

Resposta

A sequência definida é convergente e seu limite é 2.

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