Considere a seqüência assim definida:
para
. Escreva explicitanlente os primeiros quatro ou cinco termos dessa seqüêncra. Prove que ela é uma seqüência convergente e calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre sequências recursivas! A gente vai trabalhar com uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é definido por
. O que vamos precisar aqui é entender como calcular os primeiros termos dessa sequência e, depois, mostrar que ela converge para um certo valor quando
cresce indefinidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros quatro ou cinco termos da sequência para entender como ela se comporta. Já sabemos que
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Vimos que os termos estão aumentando e se aproximando de um certo valor.
Passo 7
Agora, vamos provar que a sequência é convergente. Para isso, usamos o conceito de sequência monótona e limitada. Primeiro, mostramos que a sequência é crescente:
Isso é verdade porque
para
, e como começamos com
, os termos continuam aumentando.
Passo 8
Em seguida, mostramos que a sequência é limitada superiormente. Observamos que os termos estão se aproximando de 2, então assumimos que 2 é um limite superior.
Passo 9
Por ser uma sequência que é crescente e está limitada acima, pelo Teorema de Monotonia, ela é convergente.
Passo 10
Para encontrar o limite
, assumimos que as duas últimas parcelas da sequência são iguais, ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Descartamos a solução negativa, então:
Resposta
A sequência definida é convergente e seu limite é 2.
Exercícios relacionados
Prove que toda seqüência monótona convergente é limitada.
Prove que uma seqüência
que não é limitada possui uma subseqüência
tal que
.
Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.
Calcule as derivadas abaixo através da definição
.