Calcule as derivadas abaixo: (m) f(x) = cos(x) ln(x) - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas! A pergunta pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos precisar usar o regra do produto e conhecer as derivadas básicas das funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que compõem a função . Temos duas partes principais:
  1. – é um produto entre e .
  2. – uma constante.

Passo 3

Vamos lembrar da regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 4

Aplicando a regra do produto à primeira parte da nossa função:
Agora, vamos calcular cada derivada individualmente.

Passo 5

Sabemos que:
  • A derivada de é :
  • A derivada de é :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão anterior:
Simplificando, temos:

Passo 7

Agora, vamos derivar a segunda parte da função , que é uma constante:
Porque a derivada de uma constante é sempre zero.

Passo 8

Juntando as duas partes, a derivada total de é:

Resposta

A derivada da função é:

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