Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
© integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser invertida. O enunciado é:
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y , dx , dy
Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, a troca da ordem de integração. Para resolver, precisamos entender os limites de integração e reescrevê-los de forma invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integração original vai de a , e para cada , varia de a . Isso forma uma área triangular no plano , onde está sempre maior ou igual a e vai até 1.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar integral0^1 integral0^x x^2 e^x y , dy , dx em termos de . Observando a região, para um dado , varia de até . E varia de a . Então, a nova integral fica:

Passo 4

Vamos agora integrar com relação a integral0^x e^x y , dy = 1x e^x y |0^x = 1x (e^x cdot x - e^0) = 1x (e^x^2 - 1) primeiro. A função dentro da integral é x^2 cdot 1x (e^x^2 - 1) = x (e^x^2 - 1) . Integrando em relaç��o a , tratamos como uma constante:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, temos que integrar integral0^1 x e^x^2 , dx - integral0^1 x , dx em relação a 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C de 0 a 1:
integral x , dx = 12 x^2 + C
A primeira integral, [ 12 e^1 - 12 ] = 12 (e - 1) , pode ser resolvida por substituição:
Se , então , ou . Então:
A segunda integral é simples:
Então, substituindo os limites de 0 a 1:

Resposta

A integral calculada é igual a .

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