Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a) integral0^2 integralx^2 2 y^2 sin (x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^2 integralx^2 2 y^2 sin (x y) , dy , dx. Isso faz parte do estudo de integrais duplas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem x variando de 0 a 2, e para cada x, y varia de x até 2. Então, visualizando no plano xy, estamos integrando sobre a região triangular onde 0 <= x <= 2 e x <= y <= 2.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em termos de y. Observando os limites anteriores, para cada y, x varia de 0 até y. Portanto, a nova integral será com y variando de 0 a 2 e, para cada y, x variando de 0 a y.

Passo 4

Então, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^2 integral0^y 2 y^2 sin(x y) , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x:
integral0^y 2 y^2 sin(x y) , dx
Aqui, 2 y^2 é uma constante em relação a x, então podemos tirar da integral:
2 y^2 integral0^y sin(x y) , dx

Passo 6

Fazendo a substituição u = x y, então du = y, dx ou dx = duy. Quando x=0, u=0; e quando x=y, u=y^2. A integral fica:
2 y^2 cdot 1y integral0^y^2 sin(u) , du = 2 y [ -cos(u) ]0^y^2 = 2 y ( -cos(y^2) + 1 )

Passo 7

Simplificando, temos:
2 y (1 - cos(y^2))
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^2 2 y (1 - cos(y^2)) , dy

Passo 8

Vamos dividir essa integral em duas partes:
2 integral0^2 y , dy - 2 integral0^2 y cos(y^2) , dy

Passo 9

Resolvendo a primeira integral:
2 integral0^2 y , dy = 2 [ y^22 ]0^2 = 2 ( 42 - 0 ) = 2 cdot 2 = 4

Passo 10

Para a segunda integral, fazemos a substituição u = y^2, então du = 2y, dy ou du2 = y, dy. A integral fica:
2 cdot 12 integral0^4 cos(u) , du = integral0^4 cos(u) , du = sin(u) gr|0^4 = sin(4) - sin(0) = sin(4)

Passo 11

Agora, juntando os resultados:
4 - sin(4)

Resposta

A integral invertida e calculada resulta em 4 - sin(4).

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