Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso faz parte do estudo de integrais duplas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 2, e para cada , varia de até 2. Então, visualizando no plano , estamos integrando sobre a região triangular onde e .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando os limites anteriores, para cada , varia de 0 até . Portanto, a nova integral será com variando de 0 a 2 e, para cada , variando de 0 a .

Passo 4

Então, a integral com a ordem invertida fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:

Passo 6

Fazendo a substituição , então ou . Quando , ; e quando , . A integral fica:

Passo 7

Simplificando, temos:
Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 8

Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 9

Resolvendo a primeira integral:

Passo 10

Para a segunda integral, fazemos a substituição , então ou . A integral fica:

Passo 11

Agora, juntando os resultados:

Resposta

A integral invertida e calculada resulta em .

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Questão 5 [ 1,5 pt] Em uma pesquisa foi observado que a altura da planta segue uma Progressão Geométrica (PG) com o primeiro termo representando a altura inicial da planta e os termos subsequentes representando a altura da planta em intervalos iguais de tempo. O primeiro registro da altura da planta foi de centímetros e, após 5 semanas, a altura da planta foi registrada como centímetros. Determine a razão da Progressão Geométrica que descreve o crescimento da planta.
Questão Simplifique a expressão:
Para .
Calcule as derivadas abaixo: (m)
Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
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