Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso faz parte do estudo de integrais duplas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de integração adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 2, e para cada , varia de até 2. Então, visualizando no plano , estamos integrando sobre a região triangular onde e .
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando os limites anteriores, para cada , varia de 0 até . Portanto, a nova integral será com variando de 0 a 2 e, para cada , variando de 0 a .
Passo 4
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:
Passo 6
Fazendo a substituição , então ou . Quando , ; e quando , . A integral fica:
Passo 7
Simplificando, temos:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 8
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 9
Resolvendo a primeira integral:
Passo 10
Para a segunda integral, fazemos a substituição , então ou . A integral fica: