Calcule as derivadas até 3^a ordem das funções a seguir.
(d) y = 2x / (x^2 - 1)

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos calcular as derivadas até a terceira ordem da função .
  • Conteúdo da Matéria: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções racionais.
  • O que vamos precisar:
    • Regra do Quociente: Para derivar uma fração onde o numerador e o denominador são funções de .
    • Derivada de Funções Básicas: Conhecimento das derivadas de polinômios.
    • Regra da Cadeia e Derivadas de Ordem Superior: Para calcular derivadas posteriores (segunda e terceira ordem).

Passo 2

Calculando a Primeira Derivada
Primeiro, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivar .
A Regra do Quociente diz que:
onde e .
Calculando as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra:

Passo 3

Calculando a Segunda Derivada
Agora, vamos derivar usando novamente a Regra do Quociente.
Identificando e .
Calculando as derivadas de e :
Aplicando a regra:
Simplificando:

Passo 4

Calculando a Terceira Derivada
Agora, derivamos usando a Regra do Quociente novamente.
Identificando e .
Calculando as derivadas de e :
Aplicando a regra:
Simplificando:

Resposta

As derivadas até a terceira ordem da função são:

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto de abscissa indicada:
(d) f(x) = x^2 - x, x = 1
Considere f: R -> R dada por f(x) = { -x^2 + 9 se x > 3, x^2 - 9 se x <= 3 }.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais f_+'(3) e f_'(3).
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(e) f(x) = 3 x^2 cos(x^7)
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(b) f(x) = cos(2x + 1)