Calcule as derivadas até
ordem das funções a seguir.
(d)
(d)
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos calcular as derivadas até a terceira ordem da função
.
- Conteúdo da Matéria: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções racionais.
- O que vamos precisar:
- Regra do Quociente: Para derivar uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
. - Derivada de Funções Básicas: Conhecimento das derivadas de polinômios.
- Regra da Cadeia e Derivadas de Ordem Superior: Para calcular derivadas posteriores (segunda e terceira ordem).
- Regra do Quociente: Para derivar uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
Passo 2
Calculando a Primeira Derivada
Primeiro, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivar
.
A Regra do Quociente diz que:
onde
e
.
Calculando as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra:
Passo 3
Calculando a Segunda Derivada
Agora, vamos derivar
usando novamente a Regra do Quociente.
Identificando
e
.
Calculando as derivadas de
e
:
Aplicando a regra:
Simplificando:
Passo 4
Calculando a Terceira Derivada
Agora, derivamos
usando a Regra do Quociente novamente.
Identificando
e
.
Calculando as derivadas de
e
:
Aplicando a regra:
Simplificando:
Resposta
As derivadas até a terceira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada:
(d)
(d)
Considere
dada por
.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais e
.
(b) Usando a definição, determine as derivadas laterais
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(e)
(e)
Calcule as derivadas das seguintes funções.
(b)
(b)